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C++ 基础
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其他知识：UnderstandingDeepLearningby Simon J.D. Prince Published by MIT Press Dec 5th 2023.代码仓库
前置知识
在开始学习和应用以下内容之前，确保掌握相关的几何与代数基础、数值方法、微分方程求解、优化与拓扑以及相关工具的使用。
几何与代数
线性代数基础
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压缩感知（Compressed Sensing）
压缩感知（Compressed Sensing，CS）是一种信号处理技术，旨在以远低于奈奎斯特采样定理所需的采样率捕捉和重建信号。它利用信号的稀疏性和随机投影的理论，实现高效的数据采集和重建。压缩感知的核心思想是通过少量线性测量来获取信号，并利用优化算法从这些测量中重建原始信号。
基本原理
压缩感知基于以下三个主要原则：
稀疏性：信号在某个域（如时间域、频率域或小波域）中具有稀疏表示，即大部分系数为零或接近零。例如，自然图像在小波域中通常是稀疏的。
不相关性：测量矩阵与信号的稀疏基不相关。这意味着测量矩阵的行向量与信号的稀疏表示的列向量之间的内积接近于零。随机矩阵（如高斯矩阵或Bernoulli矩阵）通常满足这个条件。
非线性重建：通过求解一个优化问题，从少量的测量值中重建原始信号。通常采用凸优化方法，如(\ell_1)范数最小化来实现稀疏信号的重建。
数学描述
设信号$f(x) \in \mathbb{R}^N$在某个基${\Psi}$下具有稀疏表示，即${x} = \mathbf{\Psi} \mathbf{\theta}$，其中${\theta}$是稀疏系数向量。压缩感知通过线性测量获取信号：
$f{y} = \mathbf{\Phi} \mathbf{x} = \mathbf{\Phi} \mathbf{\Psi} \mathbf{\theta}$
其中，$y \in \mathbb{R}^M$是测量向量，${\Phi}$是测量矩阵，(M < N)。
重建信号可以通过求解以下优化问题来实现：
$
\min_{\mathbf{\theta}} |\mathbf{\theta}|_1 \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{y} = \mathbf{\Phi} \mathbf{\Psi} \mathbf{\theta}
$
优势
- 高效数据采集：能够在低采样率下获取信号，从而减少数据传输和存储的负担。
- 鲁棒性：对噪声和丢失数据具有较强的鲁棒性。
- 广泛应用：在图像处理、医学成像（如MRI）、雷达系统、压缩传感网络等领域具有广泛应用。
实践应用
- 医学成像：在MRI中，通过减少采样点来加快成像速度，同时保持图像质量。
- 图像处理：在图像压缩和去噪中，通过稀疏表示实现高效处理。
- 无线传感器网络：在资源受限的无线传感器网络中，通过减少数据传输量延长电池寿命。
主要挑战
- 计算复杂度：重建算法通常需要求解复杂的优化问题，计算开销较大。
- 测量矩阵设计：选择合适的测量矩阵对重建性能影响较大。